如图，AB是O的直径，AC、BD是O的切线，切点分别为A、B，EF分别交AC、BD于点E、F，且EO平分∠AEF．（1）EF与O相切吗？为什么？（2）设AE=4，BF=9，求O的半径．

Question

如图，AB是 O的直径，AC、BD是 O的切线，切点分别为A、B，EF分别交AC、BD于点E、F，且EO平分∠AEF．

（1）EF与 O相切吗？为什么？
（2）设AE=4，BF=9，求 O的半径．

Answer 1

（1）EF与 O相切．理由如下：
过点O作OH⊥EF于H，如图，
∵AB是 O的直径，AC是 O的切线，
∴AB⊥AC，
∵EO平分∠AEF，
而OH⊥EF，
∴OH=OA，
∴EF为 O的切线；
（2）过E点作EG⊥BD于G，如图，
∵AB是 O的直径，BD是 O的切线，
∴AB⊥BD，
∴四边形ABGE为矩形，
∴EG=AB，BG=AE=4，
∵EF为 O的切线，
∴EH=EA=4，FH=FB=9，
∴GF=BF-BG=5，EF=EH+FH=13，
在Rt△EGF中，EG=√(EF2-FG2)=√(132-52)=12，
∴AB=12，
∴ O的半径为6．