已知圆C：x2+y2=36和点P（m，2）．（1）当m=6时，过P作圆C的切线，求切线方程和切点坐标；（2）当m∈[-2，2]时，若过P的直线与圆C交于A，B，弦长AB的最小值记为I（m），求I（m）的最大值．

Question

已知圆C：x²+y²=36和点P（m，2）．
（1）当m=6时，过P作圆C的切线，求切线方程和切点坐标；
（2）当m∈[-2，2]时，若过P的直线与圆C交于A，B，弦长AB的最小值记为I（m），求I（m）的最大值．

Answer 1

（1）圆x²+y²=36的圆心为原点，半径为6．
①当过点（6，2）的直线垂直于x轴时，此时直线斜率不存在，方程是x=6，
因为圆心O（0，0）到直线的距离为d=6=r，所以直线x=6符合题意；
②当过点（6，2）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k（x-6）
即kx-y-6k+2=0
∵直线是圆x²+y²=36的切线
∴点O（0，0）到直线的距离为d=(|-6k+2|)/(√(k2+1))=6，解之得k=-(4)/(3)
此时直线方程为4x+3y-30=0，
∴切线方程为4x+3y-30=0或x=6．
（2）直线斜率不存在，方程是x=m，AB=2√(36-m2)，
直线斜率存在，方程是y-2=k（x-m），即kx-y-mk+2=0
点O（0，0）到直线的距离为d=(|-mk+2|)/(√(k2+1))
∴（m²-d²）k²-4mk+4-d²=0，
∴△=16m²-4（m²-d²）（4-d²）≥0，
∴d²≤m²+4，
∴AB≥2√(32-m2)，
综上，弦长AB的最小值记为I（m）=2√(32-m2)，I（m）的最大值为8√(2)．