已知圆O:x2+y2=1,点P在直线L：2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点（1）求切线长PA的最小值,并求此时点P的坐标.（2）点M为直线y=x与直线L的交点,若在平面内存在定点N（不同于点M）,满足

Question

已知圆O:x2+y2=1,点P在直线L：2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点
（1）求切线长PA的最小值,并求此时点P的坐标.（2）点M为直线y=x与直线L的交点,若在平面内存在定点N（不同于点M）,满足：对于圆O上任意一点Q,都有QN/QM为一常数,求所有满足条件的点N的坐标（3）求向量PA*向量PB的最小值

Answer 1

：（1）由勾股定理得：|PO|2=R2+|PA|2,半径R=1,所以要求|PA|最小,就是求|PO|最短,
而|PO|最短时,OP垂直于直线2x+y-3=0,所以最短|OP|=|0+0-3|4+1=35,
所以|PA|2=|PO|2-R2=45
即|PA|最小时,|PA|=255
直线2x+y-3=0的斜率是k=-2,则PO的斜率是k'=12,所以OP方程是y=x2
将方程y=x2与直线2x+y-3=0联立,解得：x=65,故有y=35,即点P坐标是（65,35）；
（2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立,可得交点坐标M（1,1）,设Q（m,n）,N（x,y）
则QNQM=(x-m)2+(y-n)2(m-1)2+(n-1)2=λ（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q,都有QNQM为一常数,
∴2λ-2x=02λ-2y=0x2+y2-3λ+1=0,解得x=y=λ=12,
∴N（12,12）
（3）由题意,四点P,A,O,B共圆,当且仅当圆与直线相切时,|PA|最小,∠APB最大,PA��PB取得最小值
由（1）知P坐标是（65,35）；
设A（a,b）,则过A的切线方程为：ax+by=1,将（65,35）代入可得65a+35b=1,
∵a2+b2=1
∴a=10+1015,b=5-21015,或a=10-1015,b=5+21015
∴PA��PB=（10+1015-65,5-21015-35）��（10-1015-65,5+21015-35）=215