（2014•仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若BE=2，求⊙O的半径．

Question

（2014•仙桃）如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵BC是⊙O的切线，AB是直径，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∵DF=FB，
∴∠FDB=∠FBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆的切线；

（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，
∵∠FDB=∠FBD，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE=FB，
在直角△OBC中，tanC=(OB)/(BC)=(OB)/(2OB)=(1)/(2)，
在直角△CDF中，tanC=(DF)/(CD)，
∴(DF)/(CD)=(1)/(2)，
∵DF=1，
∴CD=2，
在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=√(5)，
∴OB=(1)/(2)BC=(√(5)+1)/(2)，
∴⊙O的半径是(√(5)+1)/(2)．