如图，以O为圆，AB长为直径作圆，在O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD=6，tan∠DCB=23，求AE的长．

Question

如图，以O为圆，AB长为直径作圆，在 O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作 O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．

（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AD=6，tan∠DCB=(2)/(3)，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，
又∵∠DCB=∠CAD，
∵∠CAD=∠1，
∴∠1=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD是 O的切线；

（2） ∵EA为 O的切线，
∴ED=EA，OE⊥DA，
∴∠BAD+∠DAE=90°，∠OEA+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠OEA，
∴∠CDB=∠OEA．
∵tan∠CDB=(2)/(3)，
∴tan∠OEA=(OA)/(AE)=(2)/(3)，
∵Rt△DCO∽Rt△DAE，
∴(CD)/(DA)=(OC)/(AE)=(OA)/(AE)=(2)/(3)，
∴CD=(2)/(3)×6=4，
在Rt△DAE中，设AE=x，
∴（x+4）²=x²+6²，
解得x=(5)/(2)．
即AE的长为(5)/(2)．