如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作O，AE是O的直径，连结DE．（1）求证：AC是O的切线；（2）若sinC=45，AC=6，求O的直径．

Question

如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作 O，AE是 O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若sinC=(4)/(5)，AC=6，求 O的直径．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是 O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是 O的切线；
（2） 过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=(1)/(2)AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC=(DF)/(DC)=(4)/(5)，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF=√(CD2-DF2)=3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴(AE)/(DC)=(AD)/(DF)，即(AE)/(5)=(5)/(4)，解得AE=(25)/(4)，
即 O的直径为(25)/(4)．