设直线y=x+b与椭圆x22+y2＝1相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b=1时，求|AB|．

Question

设直线y=x+b与椭圆(x2)/(2)+y2＝1相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=1时，求|

AB

|．

Answer 1

（1）将y=x+b 代入(x2)/(2)+y2＝1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0．①…（2分）
因为直线y=x+b 与椭圆(x2)/(2)+y2＝1 相交于A，B 两个不同的点，
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0（4分）
∴−√(3)＜b＜√(3)（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当b=1 时，方程①为3x²+4x=0．…（8分）
解得x1＝0，x2＝−(4)/(3)．
此时y1＝1，y2＝−(1)/(3)（10分）
∴|

AB

|=√((x1−x2)2+(y1−y2)2)=(4√(2))/(3)（12分）
（利用弦长公式也可以）