如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1=；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An-1BC与∠An-1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值

Question

如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，则∠A₁=___；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…；∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的平分线相交于点A_n，要使∠A_n的度数为整数，则n的值最大为___．

Answer 1

由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=(1)/(2)∠ABC，∠A₁CD=(1)/(2)∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=(1)/(2)（∠A+∠ABC）=(1)/(2)∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=(1)/(2)∠A=(1)/(2)×64°=32°；
∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁，
∴∠A₁=(1)/(2)∠A，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
∴∠A₂=(1)/(4)∠A，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=（(1)/(2)）ⁿ∠A=(64°)/(2n)，
∵∠A_n的度数为整数，
∵n=6．
故答案为：32°，6．