如图1，△ABC的两条中线AD、BE相交于点O（1）求证：DO：AO=1：2；（2）连接CO并延长交AB于F，求证：CF也是△ABC的中线；（3）在（2）中，若∠A=90°，其它条件不变，连接DF交BE于K（如图2），连

Question

如图1，△ABC的两条中线AD、BE相交于点O
（1）求证：DO：AO=1：2；
（2）连接CO并延长交AB于F，求证：CF也是△ABC的中线；
（3）在（2）中，若∠A=90°，其它条件不变，连接DF交BE于K（如图2），连接ED，且△EDK∽△CAB，求AC：AB的值．

Answer 1

（1）证明：连接ED，
∵E、D分别为AC、BC的中点，
∴ED∥AB，且ED=(1)/(2)AB，
∴△EDO∽△BAO，
∴DO：AO=ED：AB=1：2；
（2）证明：设CF交ED于点G，
由△DGO∽△AFO，得到DG：AF=DO：AO=1：2，
由DG∥AB得DG：BF=CD：CB=1：2，
∴DG：AF=DG：BF，
∴AF=BF，
∴AF也是△ABC的中线；
（3） 由∠A=90°，得到四边形AFDE是矩形，
∴△EDK∽△BAE，
∵△EDK∽△CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴AE：AB=AB：AC，
∵AE=(1)/(2)AC，
∴AC：AB=√(2)．