如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．求证：（1）DECE=ADCD；（2）△BCE∽△ADM．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．
求证：（1）(DE)/(CE)=(AD)/(CD)；        
（2）△BCE∽△ADM．

Answer 1

（1）∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴(DE)/(AD)＝(CE)/(DC)，
∴(DE)/(CE)=(AD)/(CD)；
（2）∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD=(1)/(2)BC，
∵M为DE的中点，
∴DM=EM=(1)/(2)DE，
由（1）得(DE)/(CE)=(AD)/(CD)，
∴(2DM)/(CE)＝(AD)/((1)/(2)BC)，
∴(DM)/(CE)＝(AD)/(BC)，
∴△BCE∽△ADM．