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椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为.
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椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A,B两点,若△FAB的周长最大时,△FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为______.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
设椭圆的右焦点E.如图:
由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;
∵AE+BE≥AB;
∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号;
∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a;
∴△FAB的周长的最大值是4a;
此时,△FAB的面积为
×2c×
=ab,
∴a2=2bc,平方得,
a4=4(a2-c2)c2
即4e4-4e2+1=0
∴e=
.
故答案为:
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7003af33a87e95052e332dd13385343faf2b48f.jpg)
由椭圆的定义得:△FAB的周长为:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;
∵AE+BE≥AB;
∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号;
∴△FAB的周长:AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a;
∴△FAB的周长的最大值是4a;
此时,△FAB的面积为
1 |
2 |
2b2 |
a |
∴a2=2bc,平方得,
a4=4(a2-c2)c2
即4e4-4e2+1=0
∴e=
| ||
2 |
故答案为:
| ||
2 |
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