椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为．

Question

椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为______．

Answer 1

设椭圆的右焦点E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周长的最大值是4a；
此时，△FAB的面积为(1)/(2)×2c×(2b2)/(a)=ab，
∴a²=2bc，平方得，
a⁴=4（a²-c²）c²
即4e⁴-4e²+1=0
∴e=(√(2))/(2)．
故答案为：(√(2))/(2)．