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如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆O于点A、B、C、D,弦AD和BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆O于点E、F,点M在EF上,且∠BAD=∠BMF.(1)求证:PA•PB=PM•PQ;(2)求证:∠BM
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如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别交圆O于点A、B、C、D,弦AD和BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆O于点E、F,点M在EF上,且∠BAD=∠BMF.
(1)求证:PA•PB=PM•PQ;
(2)求证:∠BMD=∠BOD.
(1)求证:PA•PB=PM•PQ;
(2)求证:∠BMD=∠BOD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵∠BAD=∠BMF,
∴A,Q,M,B四点共圆,
∴PA•PB=PM•PQ.
(2)∵PA•PB=PC•PD,
∴PC•PD=PM•PQ,
又∠CPQ=∠MPD,
∴△CPQ∽△MPD,
∴∠PCQ=∠PMD,则∠DCB=∠FMD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD,
又∠BOD=2∠BAD,
∴∠BMD=∠BOD.
∴A,Q,M,B四点共圆,
∴PA•PB=PM•PQ.
(2)∵PA•PB=PC•PD,
∴PC•PD=PM•PQ,
又∠CPQ=∠MPD,
∴△CPQ∽△MPD,
∴∠PCQ=∠PMD,则∠DCB=∠FMD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD,
又∠BOD=2∠BAD,
∴∠BMD=∠BOD.
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