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初三几何证明题!如图,在等腰三角形ABC中,CA=CB,∩ACB=90°,点D、E是直线BC上两点且CD=BE,过点AC作CM⊥AE交AE于点M,交AB于点F,连接DF并延长交AE于点N.(2)、求证:∩D=∩E
题目详情
初三几何证明题!
如图,在等腰三角形ABC中,CA=CB,∩ACB=90°,点D、E是直线BC上两点且CD=BE,过点AC作CM⊥AE交AE于点M,交AB于点F,连接DF并延长交AE于点N.
(2)、求证:∩D=∩E
如图,在等腰三角形ABC中,CA=CB,∩ACB=90°,点D、E是直线BC上两点且CD=BE,过点AC作CM⊥AE交AE于点M,交AB于点F,连接DF并延长交AE于点N.
(2)、求证:∩D=∩E
▼优质解答
答案和解析
(2)证明:过点C作CG垂直AB于G,延长CG交AB于H
所以角AGC=90度
因为角ACB=90度
CA=CB
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以CG是等腰直角三角形ABC的垂线,角平分线
所以角AGC=90度
角ACH=角BCH=1/2角ACB=45度
所以角ACH=角CBA=45度
因为CM垂直AE
所以角AMC=角EMC=90度
所以角AMC=角AGC=90度
所以A ,M ,G ,C四点共圆
所以角MAG=角MCG
因为角CAH=角CAB+角MAG=45+角MAG
角BCF=角BCH+角MCG=45+角MCG
所以角CAH=角BCF
所以在三角形CAH和三角形BCF中
角ACH=角CBA=45度(已证)
AC=BC(已知)
角CAH=角BCF(已证)
所以三角形CAH和三角形BCF全等(ASA)
所以CH=BF
因为BD=BC+CD
CE=BC+BE
BE=CD
所以BD=CE
所以在三角形BDF和三角形CEH中
因为BD=CE(已证)
角CBA=角BCH=45度(已证)
BF=CH已证)
所以三角形BDF和三角形CEH全等(SAS)
所以角D=角E
所以角AGC=90度
因为角ACB=90度
CA=CB
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以CG是等腰直角三角形ABC的垂线,角平分线
所以角AGC=90度
角ACH=角BCH=1/2角ACB=45度
所以角ACH=角CBA=45度
因为CM垂直AE
所以角AMC=角EMC=90度
所以角AMC=角AGC=90度
所以A ,M ,G ,C四点共圆
所以角MAG=角MCG
因为角CAH=角CAB+角MAG=45+角MAG
角BCF=角BCH+角MCG=45+角MCG
所以角CAH=角BCF
所以在三角形CAH和三角形BCF中
角ACH=角CBA=45度(已证)
AC=BC(已知)
角CAH=角BCF(已证)
所以三角形CAH和三角形BCF全等(ASA)
所以CH=BF
因为BD=BC+CD
CE=BC+BE
BE=CD
所以BD=CE
所以在三角形BDF和三角形CEH中
因为BD=CE(已证)
角CBA=角BCH=45度(已证)
BF=CH已证)
所以三角形BDF和三角形CEH全等(SAS)
所以角D=角E
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