如图，AE是的O切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交O于B，C两点．（1）证明：O，D，B，C四点共线；（2）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

Question

如图，AE是的 O切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交 O于B，C两点．

（1）证明：O，D，B，C四点共线；
（2）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

Answer 1

（1）证明：连结OA，则OA⊥EA．
由射影定理得EA²=ED•EO．
由切割线定理得EA²=EB•EC，
∴ED•EO=EB•EC，即(ED)/(BD)=(EC)/(EO)，
又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，
∴∠EDB=∠OCE．
∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）
（2） 连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，
结合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE
=180°-∠OBC-∠DBE
=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）
=∠DBC-∠ODC=20°．
∴∠OEC的大小为20°．…（10分）