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(2007•青浦区二模)如图,⊙A和⊙B是外离的两圆,两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F,点P是线段AB上的一动点(点P不与E、F重合),PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D,已知⊙A的半径为2,⊙B的
题目详情
(2007•青浦区二模)如图,⊙A和⊙B是外离的两圆,两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F,点P是线段AB上的一动点(点P不与E、F重合),PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D,已知⊙A的半径为2,⊙B的半径为1,AB=5.
(1)如设线段BP的长为x,线段CP的长为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果PC=PD,求PB的长;
(3)如果PC=2PD,判断此时直线CP与⊙B的位置关系,证明你的结论.
(1)如设线段BP的长为x,线段CP的长为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果PC=PD,求PB的长;
(3)如果PC=2PD,判断此时直线CP与⊙B的位置关系,证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵PC是圆A的切线,
∴∠ACP=90°(1分)
在Rt△ACP中,AC2+CP2=AP2,
∴4+y2=(5-x)2,
∴y=
(1<x<3);(4分)
(2)∵PC=PD,
∴
=
,
∴x=
(符合要求)
∴PB的长为
;(3分)
(3)∵PC=2PD,
∴
=
=2,∠ACP=∠BDP=90°,
∴△ACP∽△BDP,
∴∠APC=∠BPD,(3分)
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H,
∵∠APC=∠BPH,
∴∠BPD=∠BPH,
又∵BD⊥DP,BH⊥PH,
∴BD=BH,(2分)
∴直线CP与圆B相切.(1分)
∴∠ACP=90°(1分)
在Rt△ACP中,AC2+CP2=AP2,
∴4+y2=(5-x)2,
∴y=
x2−10x+21 |
(2)∵PC=PD,
∴
x2−10x+21 |
x2−1 |
∴x=
11 |
5 |
∴PB的长为
11 |
5 |
(3)∵PC=2PD,
∴
PC |
PD |
AC |
BD |
∴△ACP∽△BDP,
∴∠APC=∠BPD,(3分)
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H,
∵∠APC=∠BPH,
∴∠BPD=∠BPH,
又∵BD⊥DP,BH⊥PH,
∴BD=BH,(2分)
∴直线CP与圆B相切.(1分)
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