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(1)如图1,若⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1与⊙O2外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.(2)如图2,若⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M
题目详情
(1)如图1,若⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1与⊙O2外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论.
(3)如图3,若⊙O1与⊙O2相交,BC是⊙O1与⊙O2的公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是线段MN上一点,连接BQ、CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论.
(2)如图2,若⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论.
(3)如图3,若⊙O1与⊙O2相交,BC是⊙O1与⊙O2的公切线,B、C为切点,连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是线段MN上一点,连接BQ、CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,连接O1A,O2C,
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°,
∵∠O1AB=∠O1BA=
(180°-∠O1)=90°-
∠O1=90°-∠ABC,
∴∠ABC=
∠O1,
同理:∠ACB=
∠O2,
∴∠ABC+∠ACB=
(∠O1+∠O2)=90°,
∴∠BAC=90°.
∴AB⊥AC;
(2)BP⊥CP.
证明:如图2,连接O1B,O2C,
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∠O1BM=∠O1MB=
(180°-∠O1)=90°-
∠O1=90°-∠PBC,
∴∠PBC=
∠O1,
同理:∠PCB=
∠O2,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠O1+∠O2)=90°,
∴∠BPC=90°,
∴BP⊥CP;
(3)BQ与CQ不垂直.
证明:如图3,连接O1B,O2C,
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∵O1B>O1Q,
∴∠O1QB>∠O1BQ,
同理:∠O2QC>∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>∠O1BQ+∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>90°,
∴∠BQC<90°
∴BQ与CQ不垂直.
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°,
∵∠O1AB=∠O1BA=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠ABC=
1 |
2 |
同理:∠ACB=
1 |
2 |
∴∠ABC+∠ACB=
1 |
2 |
∴∠BAC=90°.
∴AB⊥AC;
(2)BP⊥CP.
证明:如图2,连接O1B,O2C,
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∠O1BM=∠O1MB=
1 |
2 |
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∴∠PBC=
1 |
2 |
同理:∠PCB=
1 |
2 |
∴∠PBC+∠PCB=
1 |
2 |
∴∠BPC=90°,
∴BP⊥CP;
(3)BQ与CQ不垂直.
证明:如图3,连接O1B,O2C,
∵BC是两圆的外公切线,
∴∠O1BC=∠O2CB=90°,
∴O1B∥O2C,
∴∠O1+∠O2=180°.
∵O1B>O1Q,
∴∠O1QB>∠O1BQ,
同理:∠O2QC>∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>∠O1BQ+∠O2CQ,
∴∠O1QB+∠O2QC>90°,
∴∠BQC<90°
∴BQ与CQ不垂直.
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