(2014•乐山)如图,⊙O1与⊙O2外切于点D,直线l与两圆分别相切于点A、B,与直线O1O2相交于点M,且tan∠AM01=33,MD=43.(1)求⊙O1的半径;(2)求△ADB内切圆的面积;(3)在直线l上是否存
(2014•乐山)如图,⊙O1与⊙O2外切于点D,直线l与两圆分别相切于点A、B,与直线
O1O2相交于点M,且tan∠AM01=,MD=4.
(1)求⊙O1的半径;
(2)求△ADB内切圆的面积;
(3)在直线l上是否存在点P,使△MO2P相似于△MDB?若存在,求出PO2的长;若不存在,请说明理由.
答案和解析
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39db7d575ed4d3160924aa183098.jpg)
(1)设⊙O
1的半径为r.
连结O
1A,如图,
∵MA为切线,
∴O
1A⊥MA.
∵tan∠AM0
1=
,
∴∠AM01=30°,
∴MO1=2O1A=2r.
∴MD=MO1+O1D=3r=4,
∴⊙O1的半径r=.
(2)连结O1B,如图,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f9198618367adab4b54722c188d4b31c8601e499.jpg)
∵∠AM02=30°,
∴∠MO2B=60°,
而O2B=O2D,
∴△O2BD为等边三角形,
∴BD=O2B=4,∠DBO2=60°,
∴∠ABD=30°,
∵∠AM01=30°,
∴∠MO1A=60°,
而O1A=O1D,
∴∠O1AD=∠O1DA,
∴∠O1AD=∠MO1A=30°,
∴∠DAB=60°,
∴∠ADB=180°-30°-60°=90°,
在Rt△ABD中,AD=BD=4,AB=2AD=8,
∴△ADB内切圆的半径===2-2,
∴△ADB内切圆的面积=π•(2-2)2=(16-8)π;
(3)存在.
在Rt△MBO2中,MB=O2B=×4=12,
当△MO2P∽△MDB时,=,即=,解得O2P=8;
当△MO2P∽△MBD时,=,即=,解得O2P=8,
综上所述,满足条件的O2P的长为8或8.
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