（2014•乐山）如图，⊙O1与⊙O2外切于点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1O2相交于点M，且tan∠AM01=33，MD=43．（1）求⊙O1的半径；（2）求△ADB内切圆的面积；（3）在直线l上是否存

Question

（2014•乐山）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线
O₁O₂相交于点M，且tan∠AM0₁=(√(3))/(3)，MD=4√(3)．
（1）求⊙O₁的半径；
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO₂P相似于△MDB？若存在，求出PO₂的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设⊙O₁的半径为r．
连结O₁A，如图，
∵MA为切线，
∴O₁A⊥MA．
∵tan∠AM0₁=(√(3))/(3)，
∴∠AM0₁=30°，
∴MO₁=2O₁A=2r．
∴MD=MO₁+O₁D=3r=4√(3)，
∴⊙O₁的半径r=(4√(3))/(3)．

（2）连结O₁B，如图，
∵∠AM0₂=30°，
∴∠MO₂B=60°，
而O₂B=O₂D，
∴△O₂BD为等边三角形，
∴BD=O₂B=4√(3)，∠DBO₂=60°，
∴∠ABD=30°，
∵∠AM0₁=30°，
∴∠MO₁A=60°，
而O₁A=O₁D，
∴∠O₁AD=∠O₁DA，
∴∠O₁AD=(1)/(2)∠MO₁A=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABD中，AD=(√(3))/(3)BD=4，AB=2AD=8，
∴△ADB内切圆的半径=(AD+BD−AB)/(2)=(4+4√(3)−8)/(2)=2√(3)-2，
∴△ADB内切圆的面积=π•（2√(3)-2）²=（16-8√(3)）π；

（3）存在．
在Rt△MBO₂中，MB=√(3)O₂B=√(3)×4√(3)=12，
当△MO₂P∽△MDB时，(O2P)/(DB)=(MO2)/(MD)，即(O2P)/(4√(3))=(8√(3))/(4√(3))，解得O₂P=8√(3)；
当△MO₂P∽△MBD时，(O2P)/(BD)=(MO2)/(MB)，即(O2P)/(4√(3))=(8√(3))/(12)，解得O₂P=8，
综上所述，满足条件的O₂P的长为8或8√(3)．