一个正四面体外切于球O1，同时又内接于球O2，则球O1与球O2的体积之比为（）A.1：33B.1：63C.1：8D.1：27

Question

一个正四面体外切于球O₁，同时又内接于球O₂，则球O₁与球O₂的体积之比为（　　）
A. 1：3√(3)
B. 1：6√(3)
C. 1：8
D. 1：27

Answer 1

设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=(1)/(3)•S•r 而正四面体PABC体积V₂=(1)/(3)•S•（R+r）
根据前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•(1)/(3)•S•r=(1)/(3)•S•（R+r），
所以，R=3r
∴球O₁与球O₂的体积之比为1：27，
故选：D．