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如图,△ABC的内切圆I分别切BC、AC于点M、N,点E、F分别为边AB、AC的中点,D是直线EF与BI的交点.证明:M、N、D三点共线.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/96dda144ad345982705679230ff431adcaef84a7.jpg)
▼优质解答
答案和解析
证明:连接AD,IA,IC,IM,IN,连结MD交AC于G,连结IG,如图,
∵点E、F分别为边AB、AC的中点,
∴EF∥BC,
∴∠2=∠3,
∵⊙I为△ABC的内切圆,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴EB=ED,
∴AE=BE=ED,
∴△ABD为直角三角形,
∴∠ADB=90°,
∵IM⊥BC,
而∠1=∠2,
∴Rt△BAD∽Rt△BIM,
∴
=
,
∴
=
,
∴△BAI∽△BDM,
∴∠AIB=∠
DMB,
∵点I为△ABC的内心,
∴∠AIB=90°+
∠ACB,
∴∠DMB=90°+
∠ACB,
∵∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4,
∴∠4=
∠ACB,
∵⊙I为△ABC的内切圆,
∴∠5=∠ICM=
∠ACB,
∴∠4=∠5,
∴I、M、C、G四点共圆,
∵∠IMC=90°,
∴∠IGC=90°,
∴IG⊥AC,
∴N点与G点重合,
∴M、N、D三点共线.
∵点E、F分别为边AB、AC的中点,
∴EF∥BC,
∴∠2=∠3,
∵⊙I为△ABC的内切圆,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴EB=ED,
∴AE=BE=ED,
∴△ABD为直角三角形,
∴∠ADB=90°,
∵IM⊥BC,
而∠1=∠2,
∴Rt△BAD∽Rt△BIM,
∴
AB |
BI |
BD |
BM |
∴
AB |
BD |
BI |
BM |
∴△BAI∽△BDM,
∴∠AIB=∠
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3b7d0a20cf431ad0d0edf884836acaf2fdd98a7.jpg)
∵点I为△ABC的内心,
∴∠AIB=90°+
1 |
2 |
∴∠DMB=90°+
1 |
2 |
∵∠DMB=∠BMI+∠4=90°+∠4,
∴∠4=
1 |
2 |
∵⊙I为△ABC的内切圆,
∴∠5=∠ICM=
1 |
2 |
∴∠4=∠5,
∴I、M、C、G四点共圆,
∵∠IMC=90°,
∴∠IGC=90°,
∴IG⊥AC,
∴N点与G点重合,
∴M、N、D三点共线.
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