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(2006•淮安)阅读材料:如图(一),△ABC的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积.∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵S△OAB=AB•r
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(2006•淮安)阅读材料:如图(一),△ABC的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA、OB、OC,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积.
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=AB•r,S△OBC=BC•r,S△OCA=CA•r
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(二))且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1、a2、a3、…、an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=AB•r,S△OBC=BC•r,S△OCA=CA•r
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r(可作为三角形内切圆半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;
(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(二))且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1、a2、a3、…、an,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).
▼优质解答
答案和解析
(1)根据上述三角形的内切圆的半径公式,由已知条件,结合勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形.可以首先求得其面积是30,其周长是5+12+13=30.再根据其公式代入计算;
(2)同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和的切点,根据四边形的面积等于四个直角三角形的面积进行计算;
(3)根据上述方法和结论,即可猜想到:任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长.
【解析】
(1)以5,12,13为边长的三角形为直角三角形,易求得;
(2)连接OA,OB,OC,OD,并设内接圆半径为r,
可得S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA
=a•r+b•r+c•r+d•r=(a+b+c+d)•r.
∴;
(3)猜想:.
(2)同样连接圆心和四边形的各个顶点以及圆心和的切点,根据四边形的面积等于四个直角三角形的面积进行计算;
(3)根据上述方法和结论,即可猜想到:任意多边形的内切圆的半径等于其面积的2倍除以多边形的周长.
【解析】
(1)以5,12,13为边长的三角形为直角三角形,易求得;
(2)连接OA,OB,OC,OD,并设内接圆半径为r,
可得S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA
=a•r+b•r+c•r+d•r=(a+b+c+d)•r.
∴;
(3)猜想:.
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