如图所示：矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O为MN的中点，半圆

Question

如图所示：矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O为MN的中点，半圆管的一半处于电场中．一带正电的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球可视为质点，质量为m，电量为q，当小球达到B点时，对管壁的压力为F_N=3mg，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）若小球能从矩形框的右边界NP离开电场，矩形区域MNPQ的最小面积S．

Answer 1

（1）设小球从B点滑出时的速度为v₀，小球过B点时，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
F_N-mg=m(v20)/(R)
解得：
v₀=√(2gR)
A到B过程，由动能定理有：
2mgR-qER=(1)/(2)m_Bv₀²
解得：
E=(mg)/(q)
（2）小球从B点滑出后，在水平方向做变速直线运动，竖直方向做自由落体运动
水平方向：a_x=(qE)/(m)=g
竖直方向：a_y=g
设向左减速时间为t₁，则有：
t1＝(v0)/(ax)＝√((2R)/(g))
小球向左运动的最大距离：
x＝(v0t1)/(2)＝R
虚线框MNPQ的最小宽度：L=2R
设向右时间为t₂，则有：
L=(1)/(2)ax

t

2 2

解得：
t2＝2√((R)/(x))
小球出电场时，下落的高度：
h=(1)/(2)ay(t1+t2)2＝(3+2√(2))R
虚线框MNPQ高度应该满足：H＞R+h
故虚线框MNPQ的最小面积：
S=H_minL=4（2+√(2)）R²
答：（1）匀强电场的电场强度E为(mg)/(q)；（2）若小球能从矩形框的右边界NP离开电场，矩形区域MNPQ的最小面积S为4（2+√(2)）R²．