（20分）给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空心圆筒，壁有一定厚度；第三个是同样壁厚的圆筒，但两端用薄片封闭，里面充满一

Question

（ 20 分）给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空心圆筒，壁有一定厚度；第三个是同样壁厚的圆筒，但两端用薄片封闭，里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放在倾角 α 为的斜面上，如图所示，求出并比较这些圆柱的线加速度。研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。圆柱与斜面的摩擦系数为 μ ，液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。

Answer 1

解析 ：沿斜面方向作用在圆柱上的力是：作用于质心重力的分量 mg sin α 和作用于接触点的摩擦力 S ，如题所给的图所示。产生的加速度 a ：

ma ＝ mg sin α － S

纯滚动时的角加速度为：

转动的运动方程为：

以上方程组的解为：

　　　　　　　　　　　　（１）

当 S 达到最大可能值 μmg cos α 时，也就到了纯滚动的极限情形，这时：

即维持纯滚动的极限条件为

　　　　　　　　　　　　（２）

下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。

（ Ⅰ ）实心圆柱的转动惯量为

从（１）式和（２）式分别得到

，　　 tan a _h ＝３ μ

角加速度为： β ＝

（ Ⅱ ）设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的 n 倍。因已知圆柱的质量是相等的，故可以算出圆筒空腔的半径 r ：

即

转动惯量为：

由（１）式和（２）式分别算出：

，　　　

角加速度为： β ＝

（ Ⅲ ）对充满液体的圆筒，因液体与筒壁之间无摩擦力，故液体不转动。总质量为 m ，但转动惯量只需对圆筒壁计算：

由（１）式和（２）式分别算出：

，　　

角加速度为： β ＝

现在比较三个圆柱体的运动特点：线加速度和角加速度之比为：

1∶ ∶

极限角正切之比为：

1∶ ∶

如果斜面倾角超过极限角，则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为 μmg cos α ，故线加速度相同，为：

a ＝ g （ sin α － cos α ）

角加速度由 给出，但转动惯量在三种情况下各不相同。因此，若圆柱体又滚又滑，则三种情况下的角加速度分别为：