已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M，N与P（1，2）的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过

Question

已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．
（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M，N与P（1，2）的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过定点．

Answer 1

（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（-x，0），
由|AB|=|AC|，得（x+1）²=（x-1）²+y²，
化简得y²=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y²=4x（y≠0）．
（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为x=my+n，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y2=4x

x=my+n

得y²-4my-4n=0，
所以y₁y₂=-4n，kMP=(y1-2)/(x1-1)=(y1-2)/((y12)/(4)-1)=(4)/(y1+2)，同理kNP=(4)/(y2+2)，
所以(4)/(y1+2)+(4)/(y2+2)=2，化简得y₁y₂=4，
又因为y₁y₂=-4n，所以n=-1，
所以直线MN过定点（-1，0）．