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过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程
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过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程
▼优质解答
答案和解析
设直线方程y=K(x+1)——过左焦点,且不垂直于x轴
联立方程组x^2+2y^2=2
得到关于x的二次方程(1+2K^2)x^2+4K^2x+2K^2-2=0
两根之和的平方-4倍的两根之极=两根之差的平方=8K^2+8/(1+2K^2)^2
设直线与椭圆的交点分别是A、B
则AB^2=(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2=|X1-X2|^2*(1+K^2)
原点到AB的距离=|K|/根号下(K^2+1)
S=0.5|K|*|X1-X2|=K*根号下(2K^2+2)/(1+2K^2)=根号下(0.5-1/(2*(2k^2+1)^2))
可知K越大三角形面积越大
当直线垂直于X轴时三角形面积最大,直线方程X=1,X=-1
联立方程组x^2+2y^2=2
得到关于x的二次方程(1+2K^2)x^2+4K^2x+2K^2-2=0
两根之和的平方-4倍的两根之极=两根之差的平方=8K^2+8/(1+2K^2)^2
设直线与椭圆的交点分别是A、B
则AB^2=(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2=|X1-X2|^2*(1+K^2)
原点到AB的距离=|K|/根号下(K^2+1)
S=0.5|K|*|X1-X2|=K*根号下(2K^2+2)/(1+2K^2)=根号下(0.5-1/(2*(2k^2+1)^2))
可知K越大三角形面积越大
当直线垂直于X轴时三角形面积最大,直线方程X=1,X=-1
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