,已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率e=(根号2)/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P,Q两点,且OP垂直于OQ,求椭圆方程!好的追加100分绝无戏言

Question

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已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)的离心率e=(根号2)/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P,Q两点,且OP垂直于OQ ,求椭圆方程!
好的追加100分 绝无戏言

Answer 1

c/a=e=(根号2)/2 导出ab关系a^2=2b^2
把直线x+y+1=0变为y=-x-1带入椭圆方程
整理后得到一个关于x的方程,太麻烦我不写了
韦达定理求出x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2),x1*x2=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
将ab关系带入得x1+x2=-4/3 x1*x2=(2-2b^2)/3
以上所求是PQ两点的横坐标关系
因为OP垂直于OQ 所以x1x2+y1y2=0(由向量可知）
把x1+x2=-4/3 x1*x2=(2-2b^2)/3带入直线方程y=-x-1,表示出y1*y2
就能解出来了.式子太麻烦了,不写了,不懂再问