（2014•陕西）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点（0，3），离心率为12，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=-12x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2

Question

（2014•陕西）已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）经过点（0，√(3)），离心率为(1)/(2)，左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=-(1)/(2)x+m与椭圆交于A、B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C、D两点，且满足(|AB|)/(|CD|)=(5√(3))/(4)，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得

b＝√(3)

(c)/(a)＝(1)/(2)

a2＝b2+c2

，
解得b＝√(3)，c=1，a=2．
∴椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）由题意可得以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1．
∴圆心到直线l的距离d=(2|m|)/(√(5))，
由d＜1，可得|m|＜(√(5))/(2)．（*）
∴|CD|=2√(1−d2)=2√(1−(4m2)/(5))=(2)/(√(5))√(5−4m2)．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y＝−(1)/(2)x+m

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

，
化为x²-mx+m²-3=0，
可得x₁+x₂=m，x1x2＝m2−3．
∴|AB|=√([1+(−(1)/(2))2][m2−4(m2−3)])=(√(15))/(2)√(4−m2)．
由(|AB|)/(|CD|)=(5√(3))/(4)，得√((4−m2)/(5−4m2))＝1，
解得m＝±(√(3))/(3)满足（*）．
因此直线l的方程为y＝−(1)/(2)x±(√(3))/(3)．