如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年．1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离．经过一段时间，彗星

Question

如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年．1986年它过近日点P₀时，与太阳S的距离r₀=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离．经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP₀的夹角θ_P=72.0°．
已知：1AU=1.50×10¹¹m，引力常量G=6.67×10^-11m³•kg^-1•s^-2，太阳质量m_S=1.99×10³⁰kg．试求P到太阳S的距离r_P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP₀的夹角表示）．

Answer 1

取直角坐标系xoy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1  （1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图所示．
以T₀表示地球绕太阳的周期，即T₀=1年，以a₀表示地球到达太阳的距离．（认为地球绕太阳做圆周运动），而a₀=1.00AU，根据开普勒第三定律有：
(a3)/(a03)＝(T2)/(T02)，（2）
设C为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得，
c=a-r₀，（3）
b=√(a2−c2)  （4）
由图知，P点的坐标x=c+r_pcosθ_p，（5）
y=r_psinθ_p    （6）
将（5）（6）式代入（1）式化简得，(a2sin2θp+b2cos2θp)rp2+2b²cr_pcosθ_p+b²c²-a²b²=0   （7）
根据求根公式得，rp＝(b2(a−ccosθp))/(a2sin2θp+b2cos2θp)    （8）
将（2）（3）（4）（8）代入数据解得r_p=0.896AU    （9）
可以证明，彗星绕太阳做椭圆运动的机械能为E＝G(mms)/(2a)；  （10）
式中m为彗星的质量，以v_p表示彗星在P点时的速度大小，根据机械能守恒定律得，
(1)/(2)mvp2+(−(Gmms)/(rp))＝−(Gmms)/(2a)    （11）
解得v

作业帮用户 2017-10-26