（2014•朝阳区二模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R）

Question

（2014•朝阳区二模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为(1)/(2)，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

-2

OB

|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=(c)/(a)＝(1)/(2)，由右焦点到右顶点的距离为1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．
所以b2 =4-1=3．                              
所以椭圆C的标准方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…4分
（2）存在直线l，使得|

OA

+2

OB

|=|

OA

−2

OB

|成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由√(y＝kx+m作业帮用户2017-10-22问题解析（1）由已知条件推导出e=(x2)/(4)(c)/(a)＝(1)/(2)，a-c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得|OA+2OB|=|OA−2OB|成立．设直线l的方程为y=kx+m，由y＝kx+m(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1得（3+4k2）x2+8lmx+4m2-12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)