求证|PF1|=a+c/ax0,|PF2|=a-c/ax0椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)两个焦点F1(-c,0)F2(c,0),P（x0,y0）是椭圆上的任一点。求证：|PF1|=a+c/ax0,|PF2|=a-c/ax0

Question

求证|PF1|=a+c/ax0,|PF2|=a-c/ax0
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)两个焦点F1(-c,0)F2(c,0),P（x0,y0）是椭圆上的任一点。求证：|PF1|=a+c/ax0,|PF2|=a-c/ax0

Answer 1

这是椭圆的焦半径公式.
设 |PF1|=√[(x0+c)^2+y0^2]=a+t,|PF2|=√[(x0-c)^2+y0^2]=a-t ,
两边平方得 (x0+c)^2+y0^2=(a+t)^2 ,(x0-c)^2+y0^2=(a-t)^2 ,
即 x0^2+2cx0+c^2+y0^2=a^2+2at+t^2,x0^2-2cx0+c^2+y0^2=a^2-2at+t^2,
两式相减得 4cx0=4at ,因此 t=c/a*x0=ex0,
所以 |PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 .