已知F为抛物线y2=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧，OA•OB=6（O为坐标原点），则△ABO与△AOF面积之和的最小值为（）A.4B.3132C.1724D.10

Question

已知F为抛物线y²=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴两侧，

OA

•

OB

=6（O为坐标原点），则△ABO与△AOF面积之和的最小值为（　　）

A. 4

B.

(3√(13))/(2)

C.

(17√(2))/(4)

D.

√(10)

Answer 1

设直线AB的方程为：x=ty+m，
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，
根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=6，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=6，从而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-6=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-3，故m=3．
不妨令点A在x轴上方，则y₁>0，
又F（(1)/(4)，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=(1)/(2)×3×（y₁-y₂）+(1)/(2)×(1)/(4)y₁=(13)/(8)y₁+(9)/(2y1)
≥2√((9×13)/(16))=(3√(13))/(2)，
当且仅当(13)/(8)y₁=(9)/(2y1)，即y₁=(6√(13))/(13)时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是(3√(13))/(2)，
故选：．