（2014•海淀区二模）已知椭圆G的离心率为22，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、

Question

（2014•海淀区二模）已知椭圆G的离心率为(√(2))/(2)，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为(√(2))/(2)，其短轴两端点为A（0，1），B（0，-1），
∴设椭圆G的方程为：(x2)/(a2)+y2＝1，(a＞1)．（1分）
由e=(√(2))/(2)，得e2＝(a2−1)/(a2)＝(1)/(2)，（2分）
解得a²=2，（3分）
∴椭圆的标准方程为(x2)/(2)+y2＝1．（4分）
（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下：
∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，
∴设C（x₁，y₁），且x₁≠0，则D（-x₁，y₁）．（5分）
∵A（0，1），B（0，-1），∴直线AC的方程为y=(y0−1)/(x0)x+1．（6分）
令y=0，得xM＝(−x0)/(y0−1)，∴M（(−x0)/(y0−1)，0）．（7分）
同理直线BD的方程为y=(y0+1)/(−x0)x−1，令y=0，解得N（(−x0)/(y0+1)，0）．（8分）

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（Ⅰ）由已知条件设椭圆G的方程为：(x2)/(a2)+y2＝1，(a＞1)．由e=(√(2))/(2)，得e2＝(a2−1)/(a2)＝(1)/(2)，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），且x₁≠0，则D（-x₁，y₁），由已知条件推导出

AM

•

AN

=(−x02)/(1−y02)+1，x02＝2(1−y02)，由此能求出以线段MN为直径的圆不过点A．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查圆是否经过一个点的判断，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．

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