已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为35，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求以椭圆C长轴的端点为焦点，离心率e=3

Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为 (3)/(5) ，焦点坐标分别为F ₁ （-2，0），F ₂ （2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求以椭圆C长轴的端点为焦点，离心率 e=(3)/(2) 的双曲线的标准方程．

Answer 1

（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为 (x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1 ．
∵ (a)/(b) =(3)/(5) ，c=2，a ² =b ² +c ²
∴a ² =9，b ² =5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为 (x2)/(9) +(y2)/(5) =1 ．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C长轴的端点坐标分别为（-3，0），（3，0）．
∴双曲线的焦点坐标分别为（-3，0），（3，0），∴c′=3…（7分）
又∵ e=(3)/(2) ，则得a′=2…（8分）
由c′ ² =a′ ² +b′ ² 得 b′ ² =5…（10分）
∴双曲线的标准方程为 (x2)/(4) -(y2)/(5) =1 …（12分）