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椭圆C：(a>b>0)的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率.
题目详情
椭圆C ：   (a>b>0) 的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为 |
| (1)求椭圆C的方程； (2)过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐 标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率. |
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答案和解析
椭圆C ：   (a>b>0) 的离心率为 ，长轴端点与短轴端点间的距离为 |
| (1)求椭圆C的方程； (2)过点D(0，4)的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐 标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率. |
(1) 由已知 ,a 2 +b 2 =5.又a 2 = b 2 +c 2 ，解得a 2 =4，b 2 =1，所以椭圆C的方程为  (2)根据题意，过点D(0，4)满足题意的直线斜率存在， 设l：y= kx +4． 联立  消去y得(1+4k 2 )x 2 +32kx+60=0．由题知Δ=(32k) 2 -240(1+4k 2 )=64k 2 -240>0,解得  设E，F两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）， 则   因为OE⊥OF，所以  ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，所以(1+k 2 )x 1 x 2 +4k(x 1 +x 2 )+16=0， 所以  ，解得 所以直线l的斜率为  |
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