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已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(I)求椭圆方程;(II)若C,D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于
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已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(I)求椭圆方程;
(II)若C,D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.求证:为定值.
(I)求椭圆方程;
(II)若C,D分别是椭圆长轴的左右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.求证:为定值.
▼优质解答
答案和解析
【答案】分析:(1)利用椭圆的几何性质求出a、b的值,从而写出标准方程.(2)设M(2,y),写出直线CM的方程,并把它代入椭圆的方程,可求P的坐标,进而得到向量OM、OP的坐标,计算这2个向量坐标的数量积,得出定值.(1)∵左右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形,∴a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2,∴椭圆方程为.(4分)(2)C(-2,0),D(2,0),设M(2,y),P(x1,y1),则.直线CM:y-0=(x-2),即 .(6分)代入椭圆x2+2y2=4,得,故次方程的两个根分别为-2和x1,(8分)由韦达定理可得x1-2=,∴,∴.∴,(10分)∴+==4 (定值).(12分)点评:本题考查椭圆的标准方程的求法、2个向量的数量积公式的应用,及一元二次方程根与系数的关系,属于中档题.
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