已知椭圆C的焦点坐标分别为（3，0）（−3，0），长轴是短轴的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）在y的正半轴上是否存在一点P（0，p），过定点P作任意一条直线与椭圆C交于两点S，T，使得O

Question

已知椭圆C的焦点坐标分别为（√(3)，0）（−√(3)，0），长轴是短轴的两倍． 
（1）求椭圆C的方程； 
（2）在y的正半轴上是否存在一点P（0，p），过定点P作任意一条直线与椭圆C交于两点S，T，使得

OS

•

OT

为一个定值．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆C的焦点坐标分别为（√(3)，0）（−√(3)，0），长轴是短轴的两倍，
∴

c＝√(3)

a＝2b

a2＝b2+c2

，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）当过定点P的直线存在斜率k时，设过定点P（0，p）的直线方程为y=kx+p，
联立

y＝kx+p

(x2)/(4)+y2＝1

，得（4k²+1）x²+8kpx+4p²-4=0，
△＞0，设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则x1+x