椭圆的方程椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面

Question

椭圆的方程
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的一个焦点坐标为(1,0),且长轴长是短轴长的√2倍..
设O为坐标原点,椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A,B,线段AB的中点为P,若直线OP的斜率为-1,求△OAB的面积

Answer 1

由题意得 a=√2b a²-b²=c²即(c,0)=(b,0)=（1,0）
所以椭圆方程为x^2/2+y^2=1
与y=kx+1联立得
A(0,1) B(-8k/2k²+1,1-6k²/2k²+1)
直线OP的斜率为-1 即
（(1-6k²/2k²+1） -1) / (-8k/2k²+1) =-1
k=-1
B(8/3, -5/3)
A ,B两点距离为 8√2 / 3
O到A ,B的距离为 √2 /2
S△OAB=1/2 * 8√2 / 3 * √2 /2= 4/3