已知椭圆C的焦点在Y轴上,离心率为2分之根号2,且短轴的一个端点到下焦点F的距离是根号2设直线y=-2与y轴交于点p,过点f直线l交椭圆c于A,B两点,求△PAB的面积最大值

Question

已知椭圆C的焦点在Y轴上,离心率为2分之根号2,且短轴的一个端点到下焦点F的距离是根号2
设直线y=-2与y轴交于点p,过点f直线l交椭圆c于A,B两点,求△PAB的面积最大值

Answer 1

由离心率为2分之根号2,可知c／a＝2分之根号2,即c^2/a^2=1/2,a^2=2c^2
又短轴端点到下焦点的距离为根号2,a＝根号2,a^2=2,c^2=1,b^2=a^2-c^2=1
椭圆方程为x^2+y^2/2=1
P(0,－2）
过f做直线,可知三角形PAB面积等于PF＊A、B点横坐标的绝对值差
设直线方程为y＝kx－根号2
联立椭圆方程和直线方程,判别式大于0,韦达定理
答案为k＝0时最大,三角形面积为根号2