已知P是抛物线y*2=4x上一个动点,Q为圆x*2+(y-4)*2=1的一个动点,求点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值.给赞

Question

已知P是抛物线y*2=4x上一个动点,Q为圆x*2+(y-4)*2=1的一个动点,求点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值.给赞

Answer 1

抛物线y^2=4x的焦点为F(1,0),圆x*2+(y-4)*2=1的圆心为A(0,4),
P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和
=PQ+AQ-1+PF
>=AP+PF-1
>=AF-1
=√17-1,
当A,Q,P,F四点顺序共线时取等号,画示意图,可知存在A,Q,P,F四点顺序共线.
∴所求最小值=√17-1.
注意：这个解法有典型意义,第一步把圆上点转化为圆心,用抛物线定义；第二步把四点转化为三点；最后用三角形不等式.