双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1右支上一点P到左焦点的距离是到右准线的6倍,则双曲线离心率的取值范围是

Question

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1右支上一点P到左焦点的距离是到右准线的6倍,则双曲线离心率的取值范围是

Answer 1

设右支上一点为P(x,y) (x≥a)
右焦点F2(c,0)

P到左准线的距离d1=x+a²/c
P到右准线的距离d2=x-a²/c

依题意,那么|PF2|=d1=x+a²/c
根据双曲线第二定义
e=|PF2|/d2=(x+a²/c)/(x-a²/c)
∴ex-ea²/c=x+a²/c
∴(e-1)x=(e+1)a²/c
∴x=(e+1)/(e-1)a²/c
∵x≥a
∴(e+1)/(e-1)a²/c≥a
两边约掉a
（e+1)(e-1)*a/c≥1
即(e+1)(e-1)≥c/a
e=c/a
∴e²-e-1≥0
解得e≥(1+√5)/2 (舍负）

∴双曲线离心率的取值范围【(1+√5)/2 ,+∞）