已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，（1）求证：PA⊥PB；（2）求证：A、F、B三点共线；（3）求FA•FBFP2的值．

Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，
（1）求证：PA⊥PB；
（2）求证：A、F、B三点共线；
（3）求(FA•FB)/(FP2)的值．

Answer 1

（1）证明：准线l的方程为：y=-1，F（0，1），
设P（n，-1），A（a，(a2)/(4)），B（b，(b2)/(4)），
∵y＝(1)/(4)x2，∴y′＝(1)/(2)x．
∴kPA＝(a)/(2)＝((a2)/(4)+1)/(a−n)，即a²-2an-4=0．
kPB＝(b)/(2)＝((b2)/(4)+1)/(b−n)，即b²-2bn-4=0．
∴a，b是方程x²-2nx-4=0的两根．
则ab=-4．即(a)/(2)•(b)/(2)＝−1．
∴PA⊥PB；
（2）证明：由（1）知，a+b=2n，kAB＝((b2)/(4)−(a2)/(4))/(b−a)＝(b+a)/(4)＝2n，
∴直线AB方程为y＝(b+a)/(4)(x−a)+(a2)/(4)．
即y＝(b+a)/(4)x−(ba)/(4)．
∵a+b=2n，ab=4，
∴AB方程为y=(1)/(2)nx+1．
∴直线AB过点F，
即A、F、B三点共线；
（3）

FA

•

FB

＝(a，

作业帮用户 2016-12-04

问题解析

（1）由抛物线方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A，B的坐标，求出原函数的导函数，利用导数相等列式得到a²-2an-4=0，b²-2bn-4=0．从而得到a，b是方程x²-2nx-4=0的两根，则答案得证；
（2）求出直线AB的斜率，写出直线方程的点斜式，从而得到直线AB过定点F；
（3）求出

FA

•

FB

，

FP

2，作比后得答案．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；平面向量数量积的运算．

考点点评：

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了平面向量在解题中的应用，综合考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，是压轴题．

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