抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|MN||AB|的最大值为（）A．1B．2C．3D．4

Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=(π)/(3)，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则(|MN|)/(|AB|)的最大值为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤((a+b)/(2))2，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-(3)/(4)（a+b）²=(1)/(4)（a+b）²
得到|AB|≥(1)/(2)（a+b）．
∴(|MN|)/(|AB|)≤1，
即(|MN|)/(|AB|)的最大值为1．
故选：A．