已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，右准线方程为x=2，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程。

Question

已知椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ₁ 、F ₂ ，离心率e= ，右准线方程为x=2，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F ₁ 的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且 ，求直线l的方程。

Answer 1

已知椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F ₁ 、F ₂ ，离心率e= ，右准线方程为x=2，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F ₁ 的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且 ，求直线l的方程。

（Ⅰ）由条件有 ，解得a= ，c=1，
∴ ，
所以，所求椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得 ，
不妨设M ，
∴ ，
∴ ，与题设矛盾。
∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），
设 ，
联立 ，消y得 ，
由根与系数的关系知 ，从而 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
化简得 ，解得 （舍），
∴k=±1，
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1。