已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；（2）若OA•OB+p2＝0（A、B异于原点），直线OB与

Question

已知A，B是抛物线x²=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．
（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；
（2）若

OA

•

OB

+p2＝0（A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；
（3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：

AT

•

BT

＝0，并且点T在l上．

Answer 1

证明：（ 1）设A（x₁，y₁），因y′＝(x)/(p)，则过A点的抛物线的切线为y−y1＝(x1)/(p)(x−x1)，
令x=0，得yc＝y1−(x21)/(p)＝−y1，所以|CF|＝(p)/(2)−(−y1)＝(p)/(2)+y1，
由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线y＝−(p)/(2)的距离，即|AF|＝y1−(−(p)/(2))＝(p)/(2)+y1．所以|AF|=|CF|．    …（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
因为 

OA

•

OB

+p2＝0，所以x₁x₂+y₁y₂+p²=0，x1x2+(x21x22)/(4p2)+p2＝0，((x1x2)/(2p)+p)2＝0，即x₁x₂=-2p²．
直线OB的方程：y＝(y2)/(x2)x＝(x2)/(2p)x

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

（ 1）由题，可设A（x₁，y₁），求导得y′＝(x)/(p)，由点斜式可得过A点的抛物线的切线为y−y1＝(x1)/(p)(x−x1)，再令x=0解出它与Y轴交点的坐标，由抛物线的性质解出|AF|与|CF|的长度，比较即可证明出结论；
（2）可先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．代入

OA

•

OB

+p2＝0结合抛物线x²=2py（p＞0）得出x₁x₂=-2p²．再表示出直线OB的方程：y＝(y2)/(x2)x＝(x2)/(2p)x

 ，(1)

，直线m的方程：x＝x1

   (2)

，两者联立，解出P点的轨迹方程；
（3）可设T（x₀，y₀）．由题意，求导可得出kAT＝(x1)/(p)，kBT＝(x2)/(p)．由于AB是焦点弦，可设AB的方程为y＝kx+(p)/(2)，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，由根与系数的关系得x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．由此得

AT

•

BT

＝0，再由点T在直线AT，BT上，由同一性即可得点T在l上

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．

考点点评：

本小题主要考查直线及圆锥曲线，考查方程的思想及解析几何的基本思想，考查运算能力和综合解题的能力．

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