设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．（Ⅰ）求此抛物线方程；（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且FB=λAF，若λ∈[4，9]，求

Question

设抛物线C：y ² =2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．
（Ⅰ）求此抛物线方程；
（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为抛物线C：y ² =2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y ² =4x
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）
由

y=k(x-1)

y 2 =4x

消y，整理得，k ² x ² -（2k ² +4）x+k ² =0
△=（2k ² +4） ² -4k ⁴ =16k ² +16＞0，
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₁ ，y ₁ ）则 x 1 + x 2 =2+(4)/(k2) ，x ₁ •x ₂ =1
因为

FB

=λ

AF

，所以（x ₂ -1，y ₂ ）=λ（1-x ₁ ，-y ₁ ），于是

x 2 -1=λ-λ x 1

y 2 =-λ y 1

由y ₂ =-λy ₁ ，得y ₂ ² =λ ² y ₁ ² ⇒4x ₂ =λ ² •4x ₁ ⇒x ₂ =λ ² •x ₁ ，
又x ₁ •x ₂ =1，
消x ₂ 得λ ² •x ₁ ² =1，
因为x ₁ ＞0，所以 x 1 =(1)/(λ) ，从而，x ₂ =λ．
代入 x 1 + x 2 =2+(4)/(k2) 得， (1)/(λ) +λ=2+(4)/(k2) ，
令 y=(1)/(λ) +λ=2+(4)/(k2) ，
因为 y=(1)/(λ) +λ 在[4，9]上递增，
所以 4+(1)/(4) ≤y=(1)/(λ) +λ≤9+(1)/(9) ，即 4+(1)/(4) ≤2+(4)/(k2) ≤9+(1)/(9) ⇒(9)/(4) ≤(4)/(k2) ≤(64)/(9) ⇒(9)/(16) ≤ k 2 ≤(16)/(9) ，
于是， -(4)/(3) ≤-k≤-(3)/(4) ，或 (3)/(4) ≤-k≤(4)/(3)
所以直线AB在y轴上截距的取值范围为： [-(4)/(3) ，-(3)/(4) ]∪[(3)/(4) ，(4)/(3) ] ．