设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离是2.(Ⅰ)求此抛物线方程;(Ⅱ)设点A,B在此抛物线上,点F为此抛物线的焦点,且FB=λAF,若λ∈[4,9],求
设抛物线C:y 2 =2px(p>0)的焦点到准线的距离是2. (Ⅰ)求此抛物线方程; (Ⅱ)设点A,B在此抛物线上,点F为此抛物线的焦点,且 =λ ,若λ∈[4,9],求直线AB在y轴上截距的取值范围. |
答案和解析
(Ⅰ)因为抛物线C:y 2 =2px(p>0)的焦点到准线的距离p=2 所以此抛物线方程为y 2 =4x (Ⅱ)由题意,直线AB的斜率存在.F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1) 由 消y,整理得,k 2 x 2 -(2k 2 +4)x+k 2 =0 △=(2k 2 +4) 2 -4k 4 =16k 2 +16>0, 设A(x 1 ,y 1 ),B(x 1 ,y 1 )则 x 1 + x 2 =2+ ,x 1 •x 2 =1 因为 =λ ,所以(x 2 -1,y 2 )=λ(1-x 1 ,-y 1 ),于是 | x 2 -1=λ-λ x 1 | y 2 =-λ y 1 | | | 由y 2 =-λy 1 ,得y 2 2 =λ 2 y 1 2 ⇒4x 2 =λ 2 •4x 1 ⇒x 2 =λ 2 •x 1 , 又x 1 •x 2 =1, 消x 2 得λ 2 •x 1 2 =1, 因为x 1 >0,所以 x 1 = ,从而,x 2 =λ. 代入 x 1 + x 2 =2+ 得, +λ=2+ , 令 y= +λ=2+ , 因为 y= +λ 在[4,9]上递增, 所以 4+ ≤y= +λ≤9+ ,即 4+ ≤2+ ≤9+ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ k 2 ≤ , 于是, - ≤-k≤- ,或 ≤-k≤ 所以直线AB在y轴上截距的取值范围为: [- ,- ]∪[ , ] . |
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