已知ab为过抛物线yy=2px(p＞0)焦点f的弦,点c在抛物线的准线上,且bc∥x轴,求证；ac经过原点

Question

已知ab为过抛物线yy=2px(p＞0)焦点f的弦,点c在抛物线的准线上,且bc∥x轴,求证；ac经过原点

Answer 1

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC‖x轴.证明直线AC经过原点O.
分析：我们把线段FA、FB、OA、OC看做平面向量,由 与 共线推出 与 共线,即可说明直线AC经过原点O.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,记为①
y22=2px2,记为②
焦点F=( ,0),准线方程x=- ,因为点C在抛物线的准线上,且BC‖x轴,则有C=（- ,y2）.
=（x1- ,y1）, =（x2- ,y2）, =（x1,y1）, =（- ,y2）,因为 与 共线,
所以（x1- ）y2-(x2- )y1=0.③
联立①、②、③式可解得：y1y2=-p2.④
而x1y2-(- )y1= y2+ y1,⑤
将④式代入⑤式有x1y2-(- )y1=0,
所以 与 是共线向量,A、O、C三点共线即直线AC经过原点O.