过双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．（1）求证：P在双曲线的右准线上；（2）求双曲线

Question

过双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A，B．
（1）求证：P在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

（1）设双曲线半焦距为c，c＞0，有F（c，0） 
该渐近线方程为y=-(b)/(a)x，则过F的垂线为y=(a)/(b)（x-c） 
联立方程组可解得  x=(a2)/(c)，即在右准线x=(a2)/(c)上．
（2）因为直线l与双曲线左右支均有交点，则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l₁必交于第三象限．
所以l₁的斜率必大于l的斜率，即  (b)/(a)＞(a)/(b)，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
则离心率e=(c)/(a)＞√(2)