如图所示，天花板上有固定转轴O，长为L的轻质绝缘杆，一端可绕转轴o在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为M的带电量为q（q>0）的小球．空间存在一竖直向下场强大小E=Mgq的匀强电

Question

如图所示，天花板上有固定转轴O，长为L的轻质绝缘杆，一端可绕转轴o在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为M的带电量为q（q>0）的小球．空间存在一竖直向下场强大小E=(Mg)/(q)的匀强电场．一根不可伸长的足够长绝缘轻绳绕过定滑轮A，一端与小球相连，另一端挂着质量为m₁的钩码，定滑轮A的位置可以沿OA连线方向调整．小球、钩码均可看作质点，不计一切摩擦．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

（1）若将OA间距调整为√(3)L，则当轻杆与水平方向夹角为30°时小球恰能保持静止状态，求小球的质量M与钩码的质量m₁之比；
（2）若在轻绳下端改挂质量为m₂的钩码，且M：m₂=4：1，并将OA间距调整为(4)/(3)L，测得杆长L=0.87m，仍将轻杆从水平位置由静止开始释放，当轻杆转至竖直位置时，小球突然与杆和绳脱离连接而向左水平飞出，求当钩码上升到最高点时，且钩码未碰上滑轮小球还未落到地上，求此时小球与O点的竖直距离h．

Answer 1

（1）依题意，小球处于静止状态时，∠AOM=30°，由几何关系知，此时∠OAM=30°．
分析小球受力，设轻杆对其弹力大小为F，方向沿杆向上，轻绳对其弹力大小为T，则

Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg+qE
且 qE=Mg
解得   M=(1)/(2)m₁，即     M：m₁=1：2    
（2）小球绕O点作圆周运动，当小球到达O点正下方P点时，设其速度为V₁，钩码速度为V₂，

设此时轻绳AP与水平方向夹角为θ，OP=L     OA=(4)/(3)L  则
由tanθ=(OP)/(OA)=0.75，得θ=37⁰
速度关系为：V₂=V₁cosθ              
对小球与钩码构成的系统由功能关系，有
qEL+MgL-

m

2

g[√(L2+((4)/(3)L)2)-((4)/(3)L-L)]=(1)/(2)M

v

2 1

+(1)/(2)

m

2

v

2 2

又    M：m₂=4：1    
解得       v₁=5m/s，v₂=4m/s        
钩码做竖直上抛运动，上升到最高点的时间 t=(v2)/(g)=(4)/(10)s=0.4s
小球离开杆后做平抛运动，在竖直方向的加速度为a，
则a=(Mg+qE)/(M)=2g=20m/

s

2

在竖直方向的加速位移为y，则y=(1)/(2)a

t

2

=1.6m
故小球与O点的竖直距离为  h=y+L=1.6+0.87=2.47m          
答：（1）若将OA间距调整为√(3)L，则当轻杆与水平方向夹角为30°时小球恰能保持静止状态，小球的质量M与钩码的质量m₁之比1：2；
（2）当钩码上升到最高点时，且钩码未碰上滑轮小球还未落到地上，此时小球与O点的竖直距离h2.47m．