设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x^2上L是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线L经过抛物线的焦点F?(2)当直线L的斜率为2时,求L在Y轴上截取的取值范围

Question

设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x^2上L是AB的垂直平分线
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线L经过抛物线的焦点F?
(2)当直线L的斜率为2时,求L在Y轴上截取的取值范围

Answer 1

当直线L的斜率为2时,AB的斜率为-1/2.(y2-y1)/(x2-x1)=-1/2,
(2x2^2-2x1^2)/(x2-x1)=2x1+2x2=-1/2,x1+x2=-1/4.
过AB中点M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(-1/8,x1^2+x2^2)
=(-1/8,2x1^2+x1/2+1/16)),斜率为2的直线L方程为
y=2x+1/4+2x1^2+x1/2+1/16.
L在y轴上截距2x1^2+x1/2+5/16的最小值为9/32.
截距的取值范围为[9/32,+∞).