求问一道定积分参数求圆面积的问题求由r=2acosθ所围图形的面积.S=1/2定积分[π/2,-π/2](2acosθ)^2dθ为什么上下限取π/2,-π/2?

Question

求问一道定积分参数求圆面积的问题
求由r=2acosθ所围图形的面积.
S=1/2 定积分[π/2,-π/2] (2acosθ)^2 dθ
为什么上下限取π/2,-π/2?

Answer 1

r=2acosθ 是圆心位于(a,0),半径为 a,极角为 θ,极径为 r 的圆的极坐标方程.从直角坐标系来看,此圆位于第一和第四象限.极角 θ 从 0 变到 π/2,上半圆位于第一象限；极角 θ 从 0 变到 -π/2,下半圆位于第四象限.利用定积分求此圆形的面积,就是求曲线 r=2acosθ 在极角 θ 从 -π/2 到 π/2 之间所围成图形的面积,因此积分下限是 -π/2,积分上限是 π/2.如果只求上半圆的面积,可以将积分下上限取为 [0,π/2]