∫∫xydxdy,积分区域D是由曲线r=(1+cosθ)与极轴所围成的平面图形求具体解答方案吧,一年半不碰高数了,完全不记得了,

Question

∫∫xydxdy,积分区域 D是由曲线r=(1+cosθ)与极轴所围成的平面图形
求具体解答方案吧,一年半不碰高数了,完全不记得了,

Answer 1

以极坐标表示,x=ρcosθ,y=ρsinθ；积分区域取极轴以上部分：0≤θ≤π,0≤ρ≤1+cosθ；
∫∫xydxdy=∫∫ρ³sinθcosθdρdθ=∫sinθcosθdθ∫ρ³dρ=∫sinθcosθdθ*[(1+cosθ)^4]/4
=-(1/4)∫cosθ*(1+cosθ)^4 d(cosθ)
=-(1/4)∫u(1+u)^4 du…………u=1 → -1；
=(1/4)[(u²/2)+(4u³/3)+(6u^4/4)+(4u^5/5)+(u^6/6)]|{1,-1}
=[(1/2)+(4/3)+(6/4)+(4/5)+(1/6)]/4 -[(1/2)-(4/3)+(6/4)-(4/5)+(1/6)]/4
=[(1/2)+(6/4)+(1/6)]/2=13/12；